Análisis de Sistemas Concentrados

Se observan que algunos cuerpos se comportan como un “bulto” cuya temperatura interior permanece uniforme en todo momento durante un proceso de transferencia de calor. La temperatura de esos cuerpos se puede tomar sólo como una función del tiempo, T(t). El análisis que se utiliza esta idealización se conoce como análisis de sistemas concentrados.

Considere un cuerpo de forma arbitraria y masa m, volumen V, área superficial As, densidad r y calor específico Cp, inicialmente a una temperatura Ti. En el instante t = 0, el cuerpo está colocado en un medio a la temperatura T∞ y se lleva a efecto transferencia de calor entre ese cuerpo y su medio ambiente, con un coeficiente de transferencia de calor h. En beneficio de la discusión, se supondrá que T∞= Ti, pero el análisis es igualmente válido para el caso opuesto. Se supondrá que el análisis de sistemas concentrados es aplicable, de modo que la temperatura permanece uniforme dentro del cuerpo en todo momento y sólo cambia con el tiempo, T = T(t).

Durante un intervalo diferencial de tiempo, dt, la temperatura del cuerpo se eleva en una cantidad diferencial dT. Un balance de energía del sólido para el intervalo de tiempo dt se puede expresar como

 Igualando:

Despejando en función de las T

Al integrar desde t = 0, en el cual T = Ti, hasta cualquier instante t, en el cual T =T(t)

Al exponencial de la ecuación queda:

-          Es una cantidad positiva cuya dimensión es (tiempo)–1.

-           El recíproco de b tiene unidad de tiempo (por lo común s) y se llama constante de tiempo.

Note a mayor valor de b menor es el tiempo que se demora el cuerpo en alcanzar la temperatura ambiente. Nótese  que realmente se esta hablando de cuerpo isotérmico es decir que los cuerpos deben permanecer a T constante durante un proceso.

Por lo general los cuerpos relativamente pequeños de materiales intensamente conductores se comportan como un cuerpo isotérmico

La cantidad total de transferencia de calor entre el cuerpo y el medio circundante durante el intervalo desde tiempo de t =0 hasta t:

La cantidad de transferencia de calor llega a su límite superior cuando el cuerpo alcanza la temperatura T∞ del medio circundante. 

Criterios para el análisis de sistemas concentrado

El primer paso en el establecimiento de un criterio para la aplicabilidad del análisis de sistemas concentrados es:

1. Longitud Característica

2. Numero de Biot

El numero de Biot es la razón de la resistencia interna de un  cuerpo a la conducción de calor con respecto a su resistencia externa a la convección de calor

Por consiguiente, el análisis de sistemas concentrados es exacto cuando Bi = 0 y aproximado cuando Bi >0. 
Es aplicable si:

Ejercicio de Transferencia de Calor en Configuraciones Comunes

Un oleoducto de &pulg de diámetro externo 0,168m conduce petróleo a 45°C el conducto esta enterrado a 1,5m de profundidad en un terreno cuya conductividad es 0,9W/mK suponiendo que la superficie del suelo se encuentra a 0°C calcular la perdida de calor por Km si el caudal de petróleo es 120.000Kgr/h(33,33Kgrs/s) y su calor especifico 2500N/KgrK, cual sera las caída de temperatura que sufre el petróleo.

Transferencia de Calor en Configuraciones Comunes

Muchos problemas que se encuentran en la práctica son bidimensionales o tridimensionales y están relacionados con configuraciones geométricas

 donde

S es el factor de forma de conducción, el

 k es la conductividad térmica del medio entre las superficies.

 El factor de forma de conducción sólo depende de la configuración geométrica del sistema. Una vez que se conoce el valor del factor de forma para una configuración geométrica específica, se puede determinar la razón total de transferencia de calor en estado estacionario.

Note que los factores de forma de conducción sólo son aplicables cuando la transferencia de calor entre las dos superficies es por conducción. Por lo tanto, no se pueden usar cuando el medio entre las superficies es un líquido o un gas, que comprende corrientes naturales o forzadas de convección.

El factor de forma de conducción, S, está relacionado con la resistencia térmica R por R = 1/kS

o S = 1/kR. Por lo tanto, estas dos cantidades son la inversa una de la otra cuando la conductividad térmica del medio es la unidad.

Nota valores de conductividad del suelo en W/mK

Suelo promedio                             0,9W/mK

Suelo arenoso seco                        0,3W/mK

Suelo arenoso con 8% de agua      0,6W/mK

Suelo arcilloso húmedo                  2,5W/mK    

Ejercicio Red térmica

Ejercicio 3,61

Considere una pared de 5 m de alto, 8 m de largo y 0.22 m de espesor cuya sección transversal representativa se da en la figura. Las conductividades térmicas de los diversos materiales usados, en W/m · °C, son kA = kF=2, kB = 8, kC = 20, kD = 15 y kE = 35. Las superficies izquierda y derecha de la pared se mantienen a las temperaturas uniformes de 300°C y 100°C, respectivamente. Si la transferencia de calor a través de la pared es unidimensional, determine a) la razón de la transferencia de calor a través de ella; b) la temperatura en el punto en el que se encuentran las secciones B, D y E, y c) la caída de temperatura a través de la sección F. Descarte cualesquiera resistencias por contacto entre las interfases.

Ejercicios

Ejercicio 1

Considere aire a 300 K y 0.86 mˆ3/kg. El estado del aire cambia a 302 K y 0.87 mˆ3/kg como resultado de una perturbación. Estime el cambio en la presión del aire.

R= 0.287 kPamˆ3/kg K

T y V son valores promedios 

Ejercicio 2

Considere aire a 300K a y 1.2 mˆ3/kg. Determine el cambio en la presión correspondiente a un aumento de

a)      1porciento en la Temperatura a Volumen especifico constante

b)      1porciento en la volumen especifico a temperatura constante

c)       1porciento tanto en la temperatura como en el volumen especifico

Ejercicio 3

Usando la ecuación de estado P(v-a)=RT compruebe

A)     La relación cíclica

B)      La relación reciproca a V constante

Relación de Maxwell

Las ecuaciones que relacionan las derivadas parciales de las propiedades P, v, T y s de un sistema simple compresible entre sí se llaman relaciones de Maxwell.

 Se obtienen a partir de las cuatro ecuaciones de Gibbs, explotando la exactitud de las diferenciales de las propiedades termodinámicas.

Función de Helmholtz a y la función de Gibbs g

 Al derivarlas se obtiene

Al simplificar las relaciones anteriores queda:

Estas ecuaciones son de la forma

Aplicando la formula anteriormente dicha en cada una de las relaciones de Gibbs 

Son de gran valor en la termodinámica porque brindan un medio para determinar el cambio en

la entropía, que no es posible medir directamente, a partir de la medición de los cambios en las propiedades P, v y T

Principios básicos sobre derivas parciales

Muchas de las expresiones desarrolladas en este capítulo se basan en el postulado de estado, mismo que indica que el estado de una sustancia simple compresible se especifica por completo mediante cualquiera de las dos propiedades intensivas independientes.Muchas de las expresiones desarrolladas en este capítulo se basan en el postulado de estado, mismo que indica que el estado de una sustancia simple compresible se especifica por completo mediante cualquiera de las dos propiedades intensivas independientes.

Considere ahora una función que depende de dos o mas variables como z=z(x,y). Esta vez el valor de z depende tanto de x como de y. Algunas veces se desea examinar la dependencia de z respecto a una sola de las variables. Esto se hace dejando que una variable cambien mientras las otras se mantienen constante y observando el cambio de la función.

El símbolo d representa el cambio diferencial total de una función y refleja la influencia de todas las variables, en tanto que ∂ representa el cambio diferencial parcial debido a la variación de una sola variable.

Ecuaciones Exactas 

Nota: Puesto que todas las propiedades termodinámicas de una sustancias quedan determinadas por el estado en cuestión, todas las propiedades tienen una diferencial total exacta.

  

Relaciones de Derivadas Parciales 

En algunas circunstancia es importante relacionar varias propiedades termodinámicas

ejemplo

Relación critica de aislamiento

Considere un tubo cilíndrico de radio exterior r1 cuya temperatura de la superficie exterior, T1, se mantiene constante. Ahora se aísla el tubo con un material cuya conductividad térmica es k y su radio exterior es r2. Se pierde calor del tubo hacia el medio circundante que está a la temperatura T∞, con un coeficiente de transferencia de calor h por convección. La razón de la transferencia de calor del tubo aislado hacia el aire circundante se puede expresar como

En otras palabras, la máxima pérdida de calor por una tubería tiene lugar cuando el radio crítico es igual a la razón de la conductividad térmica del aislante al coeficiente de superficie de transferencia de calor. Esta razón tiene las dimensiones de pies. Es de desear mantener el radio crítico tan pequeño como sea posible, de manera que la aplicación del aislante proporcione una reducción y no un aumento en la pérdida de calor por una tubería. Esto, obviamente, se puede lograr usando un material aislante de baja conductividad, de manera que el radio crítico sea menor que el radio de la tubería, 0, re < rl. (Kerm)

Dado que el valor más bajo de h que se encuentra en la práctica es de alrededor de 5 W/m2 · °C, para el caso de convección natural de los gases y que la conductividad térmica de los materiales aislantes comunes es alrededor de 0.05 W/m · °C (Cengel)

Según lo antes señalado la determinación del radio crítico de aislamiento es de vital importancia para realizar un adecuado aislamiento del sistema. Por lo tanto, se puede aislar los tubos de agua caliente o de vapor con libertad, sin preocuparnos por la posibilidad de aumentar la transferencia de calor por el aislamiento de los tubos, y, de este modo, mantener sus temperaturas de operación estacionarias en niveles más bajos y, como consecuencia, más seguros.

En general se trata de imponer como máximo una temperatura de protección, de forma que contactos involuntarios no produzcan lesiones. Como ejemplo, en el Reglamento de Instalaciones Térmicas en los Edificios, se impone que ninguna superficie expuesta a contactos accidentales pueda estar a más de 60 °C. En la práctica se trata de tuberías que transportan fluidos calientes (geometría cilíndrica), o depósitos que los contienen (geometría cilíndrica en las paredes y plana en las superficies superior e inferior). La estimación del necesario aislamiento se realiza igualando el flujo de calor total transferido al correspondiente entre la superficie que se quiere proteger (la exterior) y el ambiente exterior.

Es evidente que a mayor espesor de aislamiento más costo de inversión se tendrá y menor flujo de calor intercambiará el elemento, por lo que será menor el costo de energía asociado a su explotación. Teniendo en cuenta ambos costos deberá existir un espesor que minimice el costo total.

Bibliografía:

-          Libro de Yunus Cengel, Transferencia de Calor y Masa.

-          Libro de Donald Kerm, Procesos de Transferencia de Calor

http://www.academia.edu/5141516/TRANSFERENCIA_DE_CALOR_CAP%C3%8DTULO_2

http://gecousb.com.ve/guias/GECO/Transferencia%20De%20Calor%201%20(TF-2251)/Material%20Te%C3%B3rico%20(TF-2251)/TF-2251%20Clase%206.pdf

http://www.minetur.gob.es/energia/desarrollo/EficienciaEnergetica/RITE/Reconocidos/Reconocidos/3Guia_3.pdf